质量、力和 Newton 三定律
这篇笔记的目的是梳理质量、力和 Newton 三定律之间的关系，即弄清楚各种概念的定义，以及哪些东西是假设，哪些东西是可以被实验验证的定律。
Newton 第一定律：自由物体要么处于静止，要么处于匀速直线运动状态。
所谓“自由物体”，就是不受外界影响的物体，或者外界的影响在其身上相互抵消的物体。Newton 第一定律是一个假设、公理。我们很难在现实中观察到完全“自由”的物体，从而直接通过实验去验证它；但是我们通过某些“近似实验”得到相信这个假设的理由，例如在低摩擦环境下（如空气轨道、真空室、冰面等）可以观察到：如果不施加外部影响，物体确实保持长时间匀速直线运动或静止。
运动是相对的；当一个物体相对一个参考系静止或做匀速直线运动时，它在其他参考系看来却可能在做加速运动。那么我们在提出 Newton 第一定律时，到底是认为它在哪个参考系下成立呢？历史上，一直有人在寻找这个“绝对静止参考系”，但失败了。我们可以这样解决这个问题：假设存在一些参考系，在其之中，Newton 第一定律成立；这些参考系称为惯性系。在现实中，我们总能找到一些近似的惯性系。1
根据 Newton 第一定律，一旦我们观察到一个物体不处于静止或匀速直线运动状态，我们就可以认为它受到了“外部影响”。
接下来要解决的问题就是如何将“外部影响”抽象为一个漂亮、简洁的数学模型，使得计算成为可能。我们将这个数学模型称为力。通过一些简单的经验，我们可以要求力应当具备这些性质：
- 力有大小。
如果我们使用越大的“劲”推动一个物体，它加速得越快。 - 力有方向。
如果我们将一个物体往北推，它就会往北运动。
因此，我们将用向量来描述力。当然，一个量仅仅具备大小和方向两种性质还不足以成为向量，它还得满足向量合成的平行四边形法则。可以通过实验验证力的合成满足平行四边形法则。2于是我们可以放心地使用向量来描述力。
既然我们假设力 $\mathbf{F}$ 是物体获得加速度 $\mathbf{a}$ 的原因，那么我们就要尝试建立 $\mathbf{F}$ 和 $\mathbf{a}$ 之间的关系。Galileo 建议，$\mathbf{F}$ 应当与 $\mathbf{a}$ 同向，且与其大小成正比。$\mathbf{F}$ 与 $\mathbf{a}$ 同向这一点很符合经验，无需怀疑；$\mathbf{F}$ 与 $\mathbf{a}$ 的大小成正比则值得商榷。为什么 $\mathbf{F}$ 不能与 $\mathbf{a}$ 的大小的平方或者立方成正比？只能说，是为了简洁性。对简洁的追求，在构建科学理论时也能发挥很大的用处。
构建 $\mathbf{F}$ 和 $\mathbf{a}$ 之间的精确关系这件事由 Newton 完成。
Newton 先是定义了质量的概念：
The quantity of matter is the measure of the same, arising from its density and bulk conjointly.
即质量等于密度乘以体积。
当然，Newton 还没有定义密度的概念。他的意思是，同样材料的物体，密度相同；因此对于同样材料的物体，如果体积加倍，则质量加倍。如何比较不同材料物体之间的质量呢？要回答这个问题，则需等待他完全建立起他的“动力学”之后。
Newton 又定义了动量的概念：
The quantity of motion is the measure of the same, arising from the velocity and quantity of matter conjointly.
即动量等于质量乘以速度：
\[\mathbf{p} = m \mathbf{v}\]基于这两个概念，Newton 以“神来之笔”写下了他的第二定律：
\[\mathbf{F} \Delta t = \Delta \mathbf{p}\]即力 $\mathbf{F}$ 乘以它作用在物体上的时间 $\Delta t$ 等于物体的动量变化 $\Delta \mathbf{p}$。
我们不禁要问：这个式子何以成立？它也是一个假设，是 Newton 凭借他天才的直觉和品味构造出来的。我们无法通过实验去验证它，因为我们尚不知道如何测量质量和力。我们只能根据 Newton 第二定律推导出某些结论，然后看这些结论是否符合实验。
如果我们假设物体的质量 $m$ 是一个常量，则根据 Newton 第二定律，有
\[\mathbf{F} = \frac{\Delta \mathbf{p}}{\Delta t} = \frac{\Delta (m\mathbf{v})}{\Delta t} = m \frac{\Delta \mathbf{v}}{\Delta t} = m \mathbf{a}\]从这个式子可以看出，当 $\mathbf{F}$ 为 $\mathbf{0}$ 时，$\mathbf{a}$ 为 $\mathbf{0}$；这个结论与 Newton 第一定律吻合。这就增加了我们对 Newton 第二定律的信心。我们还可以从中看出，对于质量越大的物体，我们需要用越大的力才能让它获得同等的加速度。这说明，质量成为了对物体惯性（保持原有运动状态的性质）的衡量；质量越大，惯性越大。
如何测量质量和力呢？
我们可以选定一个物体，以它的质量作为单位质量。用一个垂直的弹簧将它挂起，并让它保持静止。根据 Newton 第二定律，可知弹簧产生的向上的回复力（拉力）恰好平衡了该物体受到的向下的重力。这两个力大小相等，方向相反。
根据 Galileo 对自由落体运动的实验研究可知，所有物体在地球表面因重力产生的加速度是一个常量 $\mathbf{g}$。因此，一个物体受到的重力与其质量成正比：
\[\mathbf{F}=m\mathbf{g}\]如果我们现在将两个单位质量的物体悬挂在同一根弹簧上，总重力就会加倍。为了平衡这个增加的力，弹簧必须进一步拉伸，产生两倍的拉力。通过测量弹簧长度随不同拉力的变化，我们发现弹簧的伸长量与拉力成线性比例；这就是Hooke 定律：
\[F=kx\]其中 $k$ 为弹簧的弹性系数，是弹簧的固有性质；$x$ 是弹簧的形变长度。
如此，这根弹簧就成为了一个测力计：我们通过观察弹簧的形变长度来测量外部对弹簧施加的拉力。反过来，既然物体的重力与其质量成正比，那么我们也可以用这个测力计来测量物体的质量。
因此，与其说 Newton 第二定律是一个定律，不如说它是一个定义；它给出了关于质量和力的可操作定义。
如果一个物体 A 对物体 B 施加了力，那么 B 会相对 A 做加速运动；然而运动是相对的，即在 B 看来，A 也相对 B 在做加速运动。因此 B 肯定同时也对 A 施加了力。这就是 Newton 第三定律。